Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B（10，8），點A在y軸上，點C在x軸上，E為BC上一點，把△ABE沿ZE折疊，點B落在OC上的D處．
（1）求D點坐標；
（2）以O(shè)為圓心，4.8為半徑作園，是判斷⊙O與直線AD的位置關(guān)系；
（3）反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點E，交AB于F，求點F的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由折疊可得AD=AB=10，在Rt△AOD中運用勾股定理可求出OD，從而得到點D的坐標；
（2）過點O作OG⊥AD于點G，運用面積法可求出OG，根據(jù)OG與r的大小關(guān)系可判定⊙O與直線AD的位置關(guān)系；
（3）易證△AOD∽△DCE，從而可求出CE長，就可得到點E的坐標，然后用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)點F的縱坐標就可求出點F的坐標．

解答：解：（1）如圖1，

∵矩形OABC的頂點B（10，8），
∴AB=OC=10，OA=BC=8．
由折疊可得：AD=AB=10．
∴在Rt△AOD中，OD=

AD2-AO2

=

102-82

=6，
∴點D的坐標為（6，0）；

（2）⊙O與直線AD相切．
理由：過點O作OG⊥AD于點G，如圖2，

∵S_△AOD=

1

2

OD•OA=

1

2

AD•OG，
∴OG=

OD•OA

AD

=

6×8

10

=4.8．
∵r=4.8，∴OG=r，
∴⊙O與直線AD相切．

（3）如圖3，

∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠BCO=∠B=90°．
由折疊可得：∠ADE=∠B=90°．
∵∠AOC=90°，∠ADE=90°，
∴∠OAD+∠ODA=90°，∠CDE+∠ODA=180°-90°=90°，
∴∠OAD=∠CDE，
∴△AOD∽△DCE，
∴

OA

CD

=

OD

CE

，
∴

8

10-6

=

6

CE

，
解得：CE=3，
∴點E的坐標為（10，3）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點E，
∴k=10×3=30，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

30

x

．
當(dāng)y=8時，

30

x

=8，
解得：x=

15

4

，
∴點F的坐標為（

15

4

，8）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識；第（2）小題除了用等積法求OG外，還可以通過三角形相似來求OG長；第（3）小題除了通過三角形相似來求CE長，還可在Rt△DCE中運用勾股定理來求CE的長．