Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c，根據(jù)圖象，回答下列問題：
（1）判斷下列各代數(shù)式的符號(hào)：a，b，c，b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c；
（2）寫出方程ax²+bx+c=0的根；
（3）寫出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（4）寫出當(dāng)y隨x增大而減小時(shí)，自變量x的取值范圍；
（5）若方程ax²+bx+c=k，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍；
（6）如果拋物線沿y軸向下平移4個(gè)單位，你能說出（2）（3）（4）（5）的解答嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象與幾何變換,拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）根據(jù)條件可求出a、b、c的值，再分別判斷各代數(shù)式的符號(hào)即可；
（2）根據(jù)對(duì)稱性可求得圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出方程的根；
（3）由圖象可知當(dāng)圖象下方時(shí)的對(duì)應(yīng)的x的范圍，可得出不等式的解集；
（4）根據(jù)對(duì)稱軸可寫出對(duì)應(yīng)的x的范圍；
（5）相當(dāng)于二次函數(shù)圖象與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，可得出k的范圍；
（6）同理向下平移可得到與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到相應(yīng)的答案．

解答：解：
（1）由圖象可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²+6，
又∵圖象過（1，0），
∴代入可求得a=-

3

2

，
∴y=-

3

2

（x+1）²+6=-

3

2

x²-3x+

9

2

，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
b²-4ac=（-3）²-4×（-

3

2

）×

9

2

=9+27=36＞0，
a-b+c=-

3

2

-（-3）+

9

2

=6＞0，
4a²-2b+c=4×（-

3

2

）²-2×（-3）+

9

2

=9+6+

9

2

＞0；
（2）根據(jù)對(duì)稱性可知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）和（1，0），
∴方程ax²+bx+c=0的根為x=-3或x=1；
（3）不等式ax²+bx+c＜0解集為x＜-3或x＞1；
（4）∵開口向下，
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小；
（5）方程ax²+bx+c=k，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，相當(dāng)于拋物線與y=k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴k＜6；
（6）當(dāng)拋物線沿y軸向下平移4個(gè)單位時(shí)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2 3

3

-1，0）和（

2 3

3

-1，0），
方程ax²+bx+c=0的根為x=-

2 3

3

-1或x=

2 3

3

-1；
不等式ax²+bx+c＜0解集為x＜-

2 3

3

-1或x＞

2 3

3

-1；
當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而減小；
方程ax²+bx+c=k，k＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求得二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．