Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24cm2，求AC的長

Answer 1

【答案】4

【解析】

過A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延長線于點F，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到AECF為矩形，利用矩形得四個角為直角得到∠EAF為直角，利用等式的性質得到∠DAF=∠BAE，再由一對直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE與三角形ADF全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AE=AF，可得出AECF為正方形，三角形ABE面積與三角形AFD面積相等，進而得到四邊形ABCD面積等于正方形AECF面積，求出正方形的邊長即為AE的長，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的長．

解：過A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延長線于點F，

∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，S△ABE=S△ADF，
∴四邊形AECF是正方形，
∴S四邊形ABCD=S正方形AECF=24cm2，
∴AE=2cm，
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴AC=AE=4cm．
故答案為：4．