【答案】
分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,然后將函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式中,即可求出拋物線的解析式;
(2)由于PD∥y軸,所以∠ADP≠90°,若△ADP是直角三角形,可考慮兩種情況:
①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),此時(shí)AP⊥DP,此時(shí)P點(diǎn)位于x軸上(即與B點(diǎn)重合),由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),易知OA=OC,則∠OAC=45°,所以O(shè)A平分∠CAP,那么此時(shí)D、P關(guān)于x軸對(duì)稱,可求出直線AC的解析式,然后設(shè)D、P的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標(biāo),由于兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可據(jù)此求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)很顯然當(dāng)P、B重合時(shí),不能構(gòu)成以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形,因?yàn)辄c(diǎn)P、F都在拋物線上,且點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),所以PF與x軸不平行,所以只有(2)②的一種情況符合題意,由②知此時(shí)P、Q重合;假設(shè)存在符合條件的平行四邊形,那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知:P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可據(jù)此求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為Q(2,-1),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)
2-1,
將C(0,3)代入上式,得:
3=a(0-2)
2-1,a=1;
∴y=(x-2)
2-1,即y=x
2-4x+3;
(2)分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)P
1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P
1與點(diǎn)B重合;
令y=0,得x
2-4x+3=0,解得x
1=1,x
2=3;
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,
∴B(1,0),A(3,0);
∴P
1(1,0);
②當(dāng)點(diǎn)A為△AP
2D
2的直角頂點(diǎn)時(shí);
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAD
2=45°;
當(dāng)∠D
2AP
2=90°時(shí),∠OAP
2=45°,
∴AO平分∠D
2AP
2;
又∵P
2D
2∥y軸,
∴P
2D
2⊥AO,
∴P
2、D
2關(guān)于x軸對(duì)稱;
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0).
將A(3,0),C(0,3)代入上式得:
,
解得
;
∴y=-x+3;
設(shè)D
2(x,-x+3),P
2(x,x
2-4x+3),
則有:(-x+3)+(x
2-4x+3)=0,
即x
2-5x+6=0;
解得x
1=2,x
2=3(舍去);
∴當(dāng)x=2時(shí),y=x
2-4x+3=2
2-4×2+3=-1;
∴P
2的坐標(biāo)為P
2(2,-1)(即為拋物線頂點(diǎn)).
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P
1(1,0),P
2(2,-1);
(3)由(2)知,當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P
1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形;
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P
2(2,-1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),
平移直線AP交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于F;
∵P(2,-1),
∴可設(shè)F(x,1);
∴x
2-4x+3=1,
解得x
1=2-
,x
2=2+
;
∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè),
即F
1(2-
,1),F(xiàn)
2(2+
,1).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,能力要求較高,難度較大.