Question

規(guī)定，滿(mǎn)足（1）各邊互不相等且均為整數(shù)，（2）最短邊上的高與最長(zhǎng)邊上的高的比值為整數(shù)k，這樣的三角形稱(chēng)為比高三角形、其中k叫做比高系數(shù)．根據(jù)規(guī)定解答下列問(wèn)題：
（1）周長(zhǎng)為13的比高系數(shù)k=

 

．
（2）寫(xiě)出一個(gè)只有4個(gè)比高系數(shù)的比高三角形的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)為

 

．
（3）比高△ABC三邊與它的比高系數(shù)k之間滿(mǎn)足BC-AC=AC-AB=k²，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊”，進(jìn)行分析；
（2）根據(jù)比高三角形的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合三角形三邊關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行判斷周長(zhǎng)固定的三角形只有四個(gè)比高系數(shù)，
（3）設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)題干條件和比高三角形的知識(shí)，可得2k²-kc+c=0，然后解方程，根據(jù)方程有整數(shù)根，進(jìn)一步解得a、b、c的值．并通過(guò)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊驗(yàn)證．

解答：解：（1）根據(jù)定義和三角形的三邊關(guān)系，知
此三角形的三邊是2，5，6或3，4，6．則k=2或3．
（2）如周長(zhǎng)為37的三角形，只有四個(gè)比高系數(shù)，當(dāng)比高系數(shù)為2時(shí)，這個(gè)三角形三邊分別為9、10、18，當(dāng)比高系數(shù)為3時(shí)，這個(gè)三角形三邊分別為6、13、18，當(dāng)比高系數(shù)為6時(shí)，這個(gè)三角形三邊分別為3、16、18，當(dāng)比高系數(shù)為9時(shí)，這個(gè)三角形三邊分別為2、17、18．
（3）∵a-b=b-c=k²；      ①，
∴a＞b＞c，且a=kc，
∴2b=a+c=kc+c，即b=

1

2

（kc+c），
又b-c=k²，將b=

1

2

（kc+c）代入并化簡(jiǎn)得2k²-kc+c=0   ②
方程②有整數(shù)根，所以△=c²-8c=0為完全平方數(shù)，
當(dāng)△≠0時(shí)，設(shè)c²-8c=m²（m為正整數(shù)）      ③
方程③有整數(shù)根，所以△=64+4m²為完全平方數(shù)，設(shè)64+4m²=n²（n為正整數(shù)）
∴（n+2m）（n-2m）=64
∴

n+2m=16 n-2m=4

或

n+2m=32 n-2m=2

，解得

n=10 m=3

或

n=17 m=7.5

（非正整數(shù)，舍去）
∴m=3，代入方程③解得c=9，代入方程②解得k=3
∴c=9，a=kc=27，b=

1

2

（kc+c）=18
∵b+c=a，
∴不符合三角形三邊關(guān)系，題目無(wú)解；
當(dāng)△=0，即c=8或c=0（不合題意，舍去）時(shí)，
由方程②解得，k=2；
∴a=kc=2×8=16，即a=16；
∴b=

1

2

（kc+c）=12；
又∵16-12＜8＜16+12，
16-8＜12＜16+8，
12-8＜16＜12+8，
∴a、b、c滿(mǎn)足題意，
∴a+b+c=36；
故答案為（1）2或3；（2）37；（3）36．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形三邊關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是理解題干條件：比高三角形的概念，根據(jù)比高三角形的知識(shí)可以解答出前兩問(wèn)，第三問(wèn)難度有點(diǎn)大，主要是利用方程的整數(shù)根的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答，此題難度較大．