Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的長．
（2）若點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn)，且S_△AOE=

16

3

，試判斷△AOE與△AOD是否相似？并說明理由．
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用三角形的面積求出OE，然后求出兩個三角形夾直角的兩邊的比，再根據(jù)相似三角形的判定方法判定即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出BC，再求出OC，然后利用勾股定理列式求出AC的長，再求出直線AB的解析式為y=

4

3

x+4，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然利用勾股定理列式求出AF²、CF²，再分三種情況列出方程求解即可．

解答：解：（1）x²-7x+12=0，
因式分解得，（x-3）（x-4）=0，
由此得，x-3=0，x-4=0，
所以，x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3；

（2）S_△AOE=

1

2

×4•OE=

16

3

，
解得OE=

8

3

，
∵

OE

OA

=

8 3

4

=

2

3

，

OA

OD

=

4

6

=

2

3

，
∴

OE

OA

=

OA

OD

，
又∵∠AEO=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△AOD；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+32

=5，
易求直線AB的解析式為y=

4

3

x+4，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，

4

3

a+4），
則AF²=a²+（

4

3

a+4-4）²=

25

9

a²，
CF²=（a-3）²+（

4

3

a+4）²=

25

9

a²+

14

3

a+25，
①若AF=AC，則

25

9

a²=25，解得a=±3，
a=3時，

4

3

a+4=

4

3

×3+4=8，
a=-3時，

4

3

a+4=

4

3

×（-3）+4=0，
所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，8）或（-3，0）；
②若CF=AC，則

25

9

a²+

14

3

a+25=25，
整理得，25a²+42a=0，
解得a=0（舍去），a=-

42

25

，

4

3

a+4=

4

3

×（-

42

25

）+4=

44

25

，
所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-

42

25

，

44

25

），
③若AF=CF，則

25

9

a²=

25

9

a²+

14

3

a+25，
解得a=-

75

14

，

4

3

a+4=

4

3

×（-

75

14

）+4=-

44

14

，
所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-

75

14

，-

44

14

），
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，8）或（-3，0）或（-

42

25

，

44

25

）或（-

75

14

，-

44

14

）時，以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題是四邊形綜合題型，主要利用了解一元二次方程，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）分情況討論，利用勾股定理表示出△ACF的三條邊求解更簡便．