Question

△ABC內(nèi)接于⊙O，CD⊥AB于點(diǎn)D，M為

AB

的中點(diǎn)，連AM、BM．
（1）求證：∠ACD=∠BCO；
（2）過(guò)M作ME⊥BC于E，若∠ACB=60°，S_{四邊形ACBM}=

3

，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：（1）延長(zhǎng)CO到⊙O上一點(diǎn)F，連接FB，利用圓周角定理得出∠FBC=90°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，得出Rt△QAM≌Rt△BEM（HL），進(jìn)而得出Rt△QCM≌Rt△ECM（HL），求出S_△QCM=S_△ECM=

3

2

，進(jìn)而得出即可．

解答：（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)CO到⊙O上一點(diǎn)F，連接FB，
∵FC是⊙O直徑，
∴∠FBC=90°，
∵∠CFB=∠CAB，∠ADC=∠CBF=90°，
∴∠ACD=∠BCO；

（2）解：如圖2：

過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵M(jìn)為

AB

的中點(diǎn)，
∴

AM

=

BM

，
∴AM=BM，∠ACM=∠BCM=30°，
∵M(jìn)Q⊥AC，ME⊥BC，∠ACM=∠BCM，
∴QM=ME，
在Rt△QAM和Rt△BEM中
∵

QM=ME AM=BM

，
∴Rt△QAM≌Rt△BEM（HL），
∴S_{四邊形ACBM}=S_{四邊形QCEM}=

3

，
在Rt△QCM和Rt△ECM中
∵

MC=MC MQ=ME

∴Rt△QCM≌Rt△ECM（HL），
∴S_△QCM=S_△ECM=

3

2

，
設(shè)EC=x，則

ME

EC

=tan30°=

3

3

，故ME=

3

3

EC=

3

3

x，
則

1

2

×x×

3

3

x=

3

2

，
解得：x=±

3

（負(fù)數(shù)舍去），
即EC的長(zhǎng)為

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，得出S_△QCM=S_△ECM=

3

2

是解題關(guān)鍵．