Question

【題目】已知拋物線y=a（x﹣1）2過點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B（0，），且∠BDC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)．

①求證：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（17，64）．（3）①證明見解析；②16.

【解析】（1）將點(diǎn)（3，1）代入解析式求得a的值即可；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x軸，證△BDO∽△DCF得=，即==據(jù)此求得x0的值即可得；

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q為（x2，y2），聯(lián)立直線和拋物線解析式，化為關(guān)于x的方程可得，據(jù)此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PMQN=DMDN=16，即=，從而得△PMD∽△DNQ，據(jù)此進(jìn)一步求解可得；

②過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線PQ于點(diǎn)G，則DG=4，根據(jù)S△PDQ=DGMN列出關(guān)于k的等式求解可得．

（1）將點(diǎn)（3，1）代入解析式，得：4a=1，

解得：a=，

所以拋物線解析式為y=（x﹣1）2；

（2）由（1）知點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，0），

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），

則y0=（x0﹣1）2，

如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥x軸，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠BDO=∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴=，

∴==，

解得：x0=17，此時(shí)y0=64，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（17，64）．

（3）①證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q為（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），

由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，

∴，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，

如圖2，分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

則PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，

DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，

∴PMQN=DMDN=16，

∴=，

又∠PMD=∠DNQ=90°，

∴△PMD∽△DNQ，

∴∠MPD=∠NDQ，

而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

②過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線PQ于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4），

所以DG=4，

∴S△PDQ=DGMN=×4×|x1﹣x2|=2=8，

∴當(dāng)k=0時(shí)，S△PDQ取得最小值16．