Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點(diǎn)F．

（1）如（圖1），當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求證：DE∥AC

（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）

①如（圖2），當(dāng)DE⊥BC時(shí)，求x的值．

②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①15°，②x＝22.5°或45°

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠B＝∠E，根據(jù)平行線的判定定理證明；

（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出∠C＝60°，∠B＝30°，根據(jù)折疊的性質(zhì)計(jì)算即可；

②分∠EDF＝∠DFE、∠DFE＝∠E、∠EDF＝∠E三種情況，列方程解答即可．

（1）證明：∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，

∴∠CAF＝∠B，

由翻折可知，∠B＝∠E，

∴∠CAF＝∠E，

∴AC∥DE；

（2）①∵∠C＝2∠B，∠C+∠B＝90°，

∴∠C＝60°，∠B＝30°，

∵DE⊥BC，∠E＝∠B＝30°，

∴∠BFE＝60°，

∵∠BFE＝∠B+∠BAF，

∴∠BAF＝30°，

由翻折可知，x＝∠BAD＝∠BAF＝15°；

②∠BAD＝x°，則∠FDE＝（120﹣2x）°，∠DFE＝（2x+30）°，

當(dāng)∠EDF＝∠DFE時(shí)，120﹣2x＝2x+30，

解得，x＝22.5，

當(dāng)∠DFE＝∠E＝30°時(shí)，2x+30＝30，

解得，x＝0，

∵0＜x＜60，

∴不合題意，故舍去，

當(dāng)∠EDF＝∠E＝30°，120﹣2x＝30，

解得，x＝45，

綜上可知，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等，且x＝22.5或45．