Question

定義〔a，b，c〕為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為〔2m，1-4m，2m-1〕的一個(gè)函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=

1

2

時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，

1

4

）；
②當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)在x＞1時(shí)，y隨x的增大而減��；
③無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有

 

（填寫(xiě)序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：新定義

分析：先根據(jù)新定義得到y(tǒng)=2mx²+（1-4m）x+2m-1，當(dāng)m=

1

2

時(shí)，解析式為y=x²-x，然后配成頂點(diǎn)式后可對(duì)①進(jìn)行判斷；
當(dāng)m=-1時(shí)，解析式為y=-2x²+5x-3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)②進(jìn)行判斷；
把y=2mx²+（1-4m）x+2m-1化為關(guān)于m的方程得（2x²-4x+2）m=x+y+1，若函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則2x²-4x+2=0，x+y+1=0，求出x和y的值得到定點(diǎn)坐標(biāo)，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷．

解答：解：根據(jù)題意得y=2mx²+（1-4m）x+2m-1，
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，此拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，-

1

4

），所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)m=-1時(shí)，y=-2x²+5x-3，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

5

2×(-2)

=

5

4

，則當(dāng)x＞

5

4

時(shí)，y隨x的增大而減小，所以②錯(cuò)誤；
把y=2mx²+（1-4m）x+2m-1化為關(guān)于m的方程得（2x²-4x+2）m=x+y+1，
當(dāng)m有無(wú)數(shù)個(gè)值時(shí)，方程成立，則2x²-4x+2=0，x+y+1=0，
解得x=1，y=-2，
即當(dāng)x=1，y=-2時(shí)，m可取任意數(shù)，
所以無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)（1，-2），所以③正確．
故答案為③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱(chēng)軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．