Question

如圖，直線y=x+b的雙曲線y=

m

x

(x＜0)交于點A（-1，-5），并分別與x軸、y軸交于點C、B．
（1）寫出b、m的值；
（2）連結OA，求∠OAB的正切值；
（3）點D在x軸的正半軸上，若以點D、C、B組成的三角形與△OAB相似，試求點D的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將A點代入求出b，m的值即可；
（2）利用勾股定理得出FO，AO，AF的長，進而求出答案；
（3）利用圖形得出當△AOB∽DBC時，以及當△AOB∽BD′C時，分別求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=x+b的雙曲線y=

m

x

(x＜0)交于點A（-1，-5），
∴-1+b=-5，m=（-1）×（-5）=5，
∴解得：b=-4，m=5；

（2）如圖1，過點A作AE⊥y軸于點E，過點O作OF⊥BC于點F，
∵A（-1，-5），
∴AE=1，EO=5，∴AO=

26

，
∵y=x-4，
∴圖象與x軸交點坐標為：（4，0），與y軸交點坐標為：（0，-4），
∴CO=OB=4，
又∵OF⊥BC，
∴FO=

1

2

BC=

1

2

42+42

=2

2

，
∴AF=

26-(2 2 )2

=3

2

，
∴∠OAB的正切值為：tan∠OAB=

OF

AF

=

2

3

；

（3）解：如圖2所示：過點A作AE⊥y軸于點E，
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=

12+12

=

2

，BO=4，BC=4

2

，
當△AOB∽DBC時，

AB

CD

=

BO

BC

，
∴

2

CD

=

4

4 2

，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D點坐標為：（6，0），
當△AOB∽BD′C時，

AB

BC

=

BO

CD′

，
∴

2

4 2

=

4

CD′

，
解得：CD′=16，
∴D′O=16+4=20，
∴D′點坐標為：（20，0），
故符合要求的D點坐標為：（6，0），（20，0）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．