Question

【題目】如圖,已知等腰，其中，，、為斜邊上的兩個(gè)動點(diǎn)（比更靠近A），滿足。

（1）求證：△AOF∽△BEO

（2）求的值.

（3）作于，于，求的值 .

（4）求線段長的最小值.(提示：必要時(shí)可以參考以下公式：當(dāng)，時(shí)，或).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3） ；（4），當(dāng)，時(shí)，取得最小值

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得∠A=∠B=45°；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，結(jié)合∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，證明∠AFO=∠BOE，從而根據(jù)兩角對應(yīng)相等，即可證明△AOF∽△BEO；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，即AFBE=4；

（3）作斜邊AB上的高OD，并記OM=a，ON=b．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以分別用a表示ME，DF，BN的長；根據(jù)△MOE∽△DOF，就可求得OMON的值；

（4）用a和b表示EF的長，從而分析EF的最小值．

解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°．

∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，

又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，

∴∠AFO=∠BOE．

∴△AOF∽△BEO．

（2）∵△BOE∽△AOF，

，

∴AFBE=4．

（3）作斜邊AB上的高OD，并記OM=a，ON=b．

則易得ME=2-a，，

，

∵∠EMO=∠ODF=90°，

∵∠EOF=45°，

∵∠MOE+∠EOD=∠FOD+∠EOD=45°

∴∠MOE=∠DOF，

∴△MOE∽△DOF，

，

，

∴ab=2，

即OMON=2．

（4）解：EF＝ABAEBF＝，

所以，當(dāng) 時(shí)，EF取得最小值.