Question

如圖，已知B（0，1），C（-2，0），過點B作AB⊥BC，使得AB=BC，AB交x軸于點F．
（1）求點A到y(tǒng)軸的距離；
（2）點P從A出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿射線AB運動，運動時間為t秒，請用含有t的式子表示△ACP的面積S；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)BC平分∠PCF時，求此時P點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）過A點作AE⊥y軸垂足為點E，根據(jù)全等三角形的判定證出△BOC≌△EA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE=OC，AE=OB，解答即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BC，即可求出△ACP的面積S；
（3）作PD⊥y軸于D，先求出OF，再證明△PCB≌△FCB，得出PB=FB，然后證明△PBD≌△FBO，即可求出PD、OD，得出P坐標(biāo)．

解答： 解：（1）過A點作AE⊥y軸，垂足為點E，如圖所示：
則∠AEB=90°，
∵B（0，1），C（-2，0），
∴BO=1，CO=2，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△BCO中，

∠AEB=∠BOC   ∠1=∠3   AB=BC

，
∴△ABE≌△BCO（AAS），
∴AE=BO=1；
（2）根據(jù)題意得：AP=t，
由勾股定理得：BC=

12+22

=

5

，
∴△ACP的面積S=

1

2

AP•BC=

1

2

t•

5

=

5

2

t；
（3）作PD⊥y軸于D，如圖所示，
∵∠ABC=90°，OB⊥CF，
根據(jù)射影定理得：BO²=CO•OF，
∴OF=

BO2

CO

=

12

2

=

1

2

，
∵BC平分∠PCF，
∴∠PCB=∠FCB，
在△PCB和△FCB中，

∠PCB=∠FCB   BC=BC   ∠PBC=∠ABC=90°

，
∴△PCB≌△FCB（ASA），
∴PB=FB，
在△PBD和△FBO中，

∠4=∠1   ∠PDB=∠FOB=90°   PB=FB

，
∴△PBD≌△FBO（AAS），
∴BD=BO=1，PD=OF=

1

2

，
∴OD=2，
∴P（-

1

2

，2）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積的求法、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．