Question

如圖①，直線y=2x-4分別交坐標(biāo)軸于B，A兩點(diǎn)，交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于C點(diǎn)，S_△AOC=8．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）直線y=mx-4（m＞0）交x軸于D點(diǎn)．若直線AC平分△AOD的周長(zhǎng)，求m的值；
（3）如圖②，M是射線BA上的一點(diǎn)，將線段BM繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，點(diǎn)M落到雙曲線上的點(diǎn)N，求線段BN的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，2a-4），然后根據(jù)S_△AOC=8，求出m的值，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

4

m

，0），求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意可得AO+BO=BD+AD，代入求出m的值；
（3）作BD⊥OC于D，NE⊥x軸于E，根據(jù)（1）可得∠BOC=45°，設(shè)BE=t，則OE=t+2，表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△OBD中求出OD、BD、CD的值，利用三角形的相似代入數(shù)值求出t的值，最后利用勾股定理求得BN的長(zhǎng)度．

解答： 解：（1）把x=0代入y=2x-4得y=4，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），
把y=0代入y=2x-4得2x-4=0，解得x=2，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a-4），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×4×a=8，
解得a=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
∴k=4×4=16，即反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；

（2）由（1）得，直線AC的解析式為：y=2x-4，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

4

m

，0），
則BO=2，BD=

4

m

-2，AD=

16+ 16 m2

=4

1+ 1 m2

，
∵AO+BO=BD+AD，
∴6=

4

m

-2+4

1+ 1 m2

，
解得：m=

4

3

；

（3）作BD⊥OC于D，NE⊥x軸于E，如圖，
由（1）得，∠BOC=45°，OC=4

2

，
設(shè)BE=t，則OE=t+2，
則N點(diǎn)坐標(biāo)表示為（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，
在Rt△OBD中，
∵OB=2，∠BOD=45°，
∴OD=BD=

2

2

OB=

2

，
∴CD=OC-OD=3

2

，
∵線段BM繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，M落在雙曲線上的點(diǎn)N處，
∴∠MBN=135°，BN=BM，
∴∠CBN=45°，
∵∠CBN+∠1=∠BOC+∠2，
∴∠1=∠2，
∴Rt△BEN∽R(shí)t△CDB，
∴

NE

BD

=

BE

CD

，即

16 t+2

2

=

t

3 2

，
整理得t²+2t-48=0，
解得t₁=-8（舍去），t₂=6，
∴BE=6，NE=

16

2+6

=2，
在Rt△BEN中，
BN=

BE2+NE2

=2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度比較大．