Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x（x﹣b）﹣與y軸相交于A點，與x軸相交于B、C兩點，且點C在點B的右側，設拋物線的頂點為P．

（1）若點B與點C關于直線x＝1對稱，求b的值；

（2）若OB＝OA，求△BCP的面積；

（3）當﹣1≤x≤1時，該拋物線上最高點與最低點縱坐標的差為h，求出h與b的關系；若h有最大值或最小值，直接寫出這個最大值或最小值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值為1

【解析】

（1）由點B與點C關于直線x＝1對稱，可得出拋物線的對稱軸為直線x＝1，再利用二次函數(shù)的性質可求出b值；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，結合OA＝OB可得出點B的坐標，由點B的坐標利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，利用配方法可求出點P的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出△BCP的面積；

（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四種情況考慮，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征結合二次函數(shù)的圖象找出h關于b的關系式，再找出h的最值即可得出結論．

解：（1）∵點B與點C關于直線x＝1對稱，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，

∴﹣＝1，

解得：b＝2．

（2）當x＝0時，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，

∴點A的坐標為（0，﹣）．

又∵OB＝OA，

∴點B的坐標為（﹣，0）．

將B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，

解得：b＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣．

∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，

∴點P的坐標為（，﹣）．

當y＝0時，x2﹣x﹣＝0，

解得：x1＝﹣，x2＝1，

∴點C的坐標為（1，0）．

∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．

（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．

當≥1，即b≥2時，如圖1所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣b+，

∴h＝2b；

當0≤＜1，即0≤b＜2時，如圖2所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1+b+＝（1+）2；

當﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0時，如圖3所示

y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；

當≤﹣1，即b≤﹣2時，如圖4所示，

y最大＝﹣b+，y最小＝b+，

h＝﹣2b．

綜上所述：h＝，h存在最小值，最小值為1．