Question

已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是直線BD上任意一點(diǎn)（異于B、O、D三點(diǎn)），過P點(diǎn)作平行于AC的直線交直線AD于點(diǎn)E，交直線BA于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，易證得：AC=PE+PF（如圖①所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長線上（如圖②所示）和當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上（如圖③所示）兩種情況時(shí)，探究線段AC、PE、PF之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖③的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：在②中延長FE交BC的延長線于點(diǎn)G，可證得PF=PG，再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG，可得到AC=PF-PE；在③中延長CB交EF于點(diǎn)G，可證得PG=PF，可得到AC=PE-PF．

解答：解：當(dāng)P在BD的延長線上時(shí)，如圖②，延長FE交BC的延長線于點(diǎn)G，

∵AC∥FG，
∴

BO

BP

=

AO

PF

=

CO

PG

，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG-PE=PF-PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四邊形ACGE為平行四邊形，
∴AC=EG，
∴AC=PF-PE；
當(dāng)P在DB的延長線上時(shí)，如圖③，延長CB交EF于點(diǎn)G，

∵AC∥EF，
∴

PG

OC

=

PF

OA

=

PB

BO

，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE-PG=PE-PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四邊形AEGC為平行四邊形，
∴EG=AC，
∴AC=PE-PF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，②平行四邊形的對(duì)角相等，③平行四邊形的對(duì)角線互相平分．