Question

8．如圖，在等腰Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，點A，B都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，點B在點A的右側，若點A的橫坐標為2，則k的值是2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先根據已知構造矩形得出△AON≌△BAW，進而得出矩形面積為：S=ON•WN=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$，從而得出S_△AOB=$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$，根據AO=AB，再表示出S_△AOB=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，利用兩三角形面積相等即可得出k的值．

解答 解：過點B作BM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N，并延長MB，NA交于一點W，
∵∠WMO=∠MON=∠WNO=90°，
∴四邊形MONW是矩形，
由點A的橫坐標為2，則A點坐標為：（2，$\frac{k}{2}$），
∵等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴AB=AO，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAW+∠OAN=90°，
∵∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BAW=∠AON，
在△AON和△BAW中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠W=∠ANO}\\{∠WAB=∠NOA}\\{AB=AO}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△BAW（AAS），
∴AW=NO，S_△AON=S_△BAW，
故WN=AW+AN=2+$\frac{k}{2}$，
∴矩形面積為：S=ON•WN=$\frac{k}{2}$（2+$\frac{k}{2}$）=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$，
∵S_△MOB=S_△AON=S_△BAW=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{k}{2}$=$\frac{k}{2}$，
∴S_△AOB=k+$\frac{{k}^{2}}{4}$-3×$\frac{k}{2}$=$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$，
∵AN=2，ON=$\frac{k}{2}$，
∴AB=AO=$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$×$\sqrt{4+\frac{{k}^{2}}{4}}$=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，
∴$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{k}{2}$=2+$\frac{{k}^{2}}{8}$，
整理得出：
k²-4k-16=0，
解得：k₁=2+2$\sqrt{5}$，k₂=2-2$\sqrt{5}$（不合題意舍去）．
故答案為2+2$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及全等三角形的判定與性質以及三角形面積求法等知識，根據已知用兩種方法得出S_△AOB是解題關鍵．