Question

3．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0）．
（1）求b、c．
（2）如圖1，在第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得三角形BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標，求出三角形BCD的面積最大值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB．問在直線BC下方的拋物線上是否存在否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點代入y=-x²+bx+c，即可求出拋物線的解析式；
（2）設D點坐標為（t，-t²+2t+3），過點D作DH⊥x軸于H，根據(jù)S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC═-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，再利用配方法即可求出D點坐標及△BCD面積的最大值；
（3）設PM與x軸交于點E，求出過點E與BC平行的直線EQ解析式為y=-x+1，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，即可得出點Q的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，設D點坐標為（t，-t²+2t+3），過點D作DH⊥x軸于H，
則S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t
=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當t=$\frac{3}{2}$時，D點坐標是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面積的最大值是$\frac{27}{8}$；

（3）如圖2，設PM與x軸交于點E，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P點的坐標為（1，4），E點的坐標為（1，0）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴當x=1時，y=2，
∴M點的坐標為（1，2），
∴PM=ME=2，BM為△BPE的中線，
∴S_△PMB=S_△EMB．
過E作BC的平行線，交拋物線于點Q，則S_△QMB=S_△EMB，
∴S_△QMB=S_△PMB．
∵E（1，0），直線BC的解析式為y=-x+3，EQ∥BC，
∴直線EQ的解析式為y=-x+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點Q的坐標為Q₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
∴在直線BC下方的拋物線上存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，此時點Q的坐標為Q₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，三角形、梯形的面積，解析式平移的規(guī)律，直線與拋物線的交點坐標求法，難度適中．解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）設D點坐標為（t，-t²+2t+3），利用割補法求出S_△BCD關于t的二次函數(shù)解析式；（3）找到Q的位置，求出直線EQ的解析式．