【題目】如圖,點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點.
(1)求證:BE=BF;
(2)當△BEF為等邊三角形時,求證:∠D=2∠A.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=CB,AD=CD,∠A=∠C,再根據(jù)中點的定義得到AE=CF,根據(jù)SAS可證△BAE≌△BCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF即可;
(2)作輔助線,先根據(jù)線段垂直平分線的逆定理證明BD是EF的垂直平分線,由等邊三角形三線合一得:EG=FG,∠EBG=∠EBF=30°,設(shè)EG=x,則BE=2x,BG=x,根據(jù)中位線定理得:AO=2EG=2x,OB=x,證明△BHO∽△BEG,列比例式可得OH= ,BH=x,再求AH=x,則AH=BH,可得∠DAB=60°,∠ADC=120°,從而得出結(jié)論.
試題解析:證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠A=∠C,AB=BC=AD=CD.∵點E、F分別為菱形ABCD邊AD、CD的中點,∴AE=AD,CF=CD,∴AE=CF,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴BE=BF;
(2)如圖,連接AC、BD交于點O,設(shè)BD與EF交于G,AC與BE交于H,則AC⊥BD.∵BE=BF,ED=DF,∴BD是EF的垂直平分線,∴EG=FG,∠EBG=∠EBF=30°,Rt△BEG中,設(shè)EG=x,則BE=2x,BG=x.∵EG∥AO,E為AD的中點,∴G是OD的中點,∴AO=2EG=2x,OB=x.∵OH∥GE,∴△BHO∽△BEG,∴,∴==,∴OH= ,BH=x,∴AH=AO﹣OH=2x﹣x=x,∴AH=BH,∴∠HAB=∠ABH.∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°,∴∠HAB=30°,∴∠DAB=60°,∴∠ADC=120°,∴∠ADC=2∠DAB,即∠D=2∠A.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個漢字“互”字,其中,AB∥CD,∠1=∠2,∠MGH=∠MEF.
求證:∠MEF=∠GHN.
證明:∵ AB∥CD(已知)
∴∠1=∠3( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3( )
∴ME∥HN ( )
∴∠MGH=∠ ( )( )
又∵∠MGH=∠MEF (已知)
∴∠MEF=∠GHN( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有兩點A、B,點B在點A的右側(cè),且AB=10,點A表示的數(shù)為﹣6.動點P從點A出發(fā),以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動.
(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù);
(2)經(jīng)過多少時間,線段AP和BP的長度之和為18?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個花壇的形狀如圖所示,它的兩端是半徑相等的半圓,求:
(1)花壇的周長l;
(2)花壇的面積S;
(3)若a=8m,r=5m,求此時花壇的周長及面積(π取3.14).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人為了解他所在地區(qū)的旅游情況,收集了該地區(qū)2014年到2017年每年旅游收入的有關(guān)數(shù)據(jù),整理并繪制成折線統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中信息,回答下列問題:
(1)該地區(qū)2014年到2017年四年的年旅游平均收入是多少億元;
(2)從折線統(tǒng)計圖中你能獲得哪些信息?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)開展4種課外興趣小組活動,分別為A;繪畫:B;機器人:C;跳舞:D;吉他.每個學(xué)生都要選取一個興趣小組參與活動,小明對同學(xué)們選取的活動形式進行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了如下的統(tǒng)計圖:
(1)本次調(diào)查學(xué)生共 人,a= ,并將條形圖補充完整;
(2)如果該校有學(xué)生500人,則選擇“機器人”活動的學(xué)生估計有多少人?
(3)學(xué)校讓每班同學(xué)在A,B,C,D四種活動形式中,隨機抽取兩種開展活動,請用樹狀圖或列表法的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“繪畫”和“機器人”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中, 對角線AC、BD相交于點O. E、F是對角線AC上的兩個不同點,當E、F兩點滿足下列條件時,四邊形DEBF不一定是平行四邊形( ).
A.AE=CFB.DE=BFC.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠AOB是直角,∠AOC=40°,ON是∠AOC的平分線,OM是∠BOC的平分線.
(1)求∠MON的大小.
(2)當銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時,∠MON的大小是否發(fā)生改變?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們遇到這樣一個問題:
如圖1,已知, ,、分別是與 的角平分線,請同學(xué)們根據(jù)題中的條件提出問題,大家一起來解決(本題出現(xiàn)的角均小于平角)
同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自己的想法:
小強說:“如圖2,若與重合,且,時,可求的度數(shù).”
小偉說:“在小強提出問題的前提條件下,將的邊從邊開始繞點逆時針
轉(zhuǎn)動,可求出的值.”
老師說:“在原題的條件下,借助射線的不同位置可得出的數(shù)量關(guān)系.”
(1)請解決小強提出的問題;
(2)在備用圖1中,補充完整的圖形,并解決小偉提出的問題
(3)在備用圖2中,補充完整的圖形,并解決老師提出的問題,即求三者之間的的數(shù)量關(guān)系.
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