Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（﹣2，0），C（0，4），點O′為x軸上一點，⊙O′過A，C兩點交x軸于另一點B．

（1）求點O′的坐標；
（2）已知拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點，且與⊙O′交于另一點E，求拋物線的解析式，并直接寫出點E 坐標；
（3）設點P（t，0）是線段OB上一個動點，過點P作直線l⊥x軸，交線段BC于F，交拋物線y=ax2+bx+c于點G，請用t表示四邊形BPCG的面積S；
（4）在（3）的條件下，四邊形BPCG能否為平行四邊形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接CO′，設⊙O′的半徑為R．

在Rt△OCO′中，∵OC2+OO2=CO′2，

∴42+（R﹣2）2=R2，

∴R=5，

∴OO′=5﹣2=3，

∴O′（3，0）．

（2）解：∵A（﹣2，0），C（0，4），B（8，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4．

易知E、C關于對稱軸對稱，

∴點E的縱坐標為4，

∴E（6，4）

（3）解：由題意G（t，﹣ t2+ t+4），

∴S四邊形BPCG= PG（Bx﹣Cx）= （﹣ t2+ t+4）8=﹣t2+6t+16（0＜t＜8）

（4）解：不可能是平行四邊形．

理由：假設CG∥BP，此時G與E重合，CE=OP=6，BP=OB﹣OP=2，

∴CE≠BP，

∴四邊形BPCG不可能是平行四邊形．

【解析】（1）如圖1中，連接CO′，設⊙O′的半徑為R．在Rt△OCO′中，根據(jù)OC2+OO2=CO′2，可得42+（R-2）2=R2，解方程求出求點O′的坐標；
（2）把A（-2，0），C（0，4），B（8，0）代入拋物線拋物線y=ax2+bx+c，求拋物線的解析式即點E 坐標；
（3）根據(jù)S四邊形BPCG=PG（Bx-Cx），即可用t表示四邊形BPCG的面積S
（4）不可能是平行四邊形．假設CG∥BP，此時G與E重合，CE=OP=6，BP=OB-OP=2，推出CE≠BP，即可得到所求結論..
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．