Question

5．如圖，二次函數(shù)y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），x=0與x=3時(shí)的函數(shù)值相等，其圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上求點(diǎn)P，使得S_△PBC最大．
（3）點(diǎn)P是拋物線上x(chóng)軸上方一點(diǎn)，若∠CAP=45°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 分析：（1）由x=0與x=3時(shí)的函數(shù)值相等，列方程求出t值即可求解．
（2）利用待定系數(shù)法先求出直線BC的解析式，然后過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)D，用未知數(shù)設(shè)出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，即可得到線段PD的長(zhǎng)度表達(dá)式，以PD為底、OB為高，即可得到△PBC的面積函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）利用等腰三角形兩腰相等列出方程，求解

解答 解：（1）∵x=0與x=3時(shí)的函數(shù)值相等，
∴（t-1）×0²+（t+1）×0+2=（t-1）×3²+（t+1）×3+2，
解方程，得t=$\frac{1}{2}$，
把t=$\frac{1}{2}$代入二次函數(shù)y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），
∴二次函數(shù)的解析式為：y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$．
（2）如右圖過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)D．
把y=0代入y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，得為：$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=0，
解，得x₁=-1，x₂=4，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
又∵C（0，2）
∴直線BC：y=$-\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)點(diǎn)P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
把x=a代入y=$-\frac{1}{2}$x+2，y=-$\frac{1}{2}$a+2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
∴PD=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$-（-$\frac{1}{2}$a+2）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PD•OB$=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$）×4=-a²+4a=-（a-2）²+4，
當(dāng)a=2時(shí)，S_△PBC有最大值，最大值為4，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，3），
（3）如右圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，
∵∠PAB=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，EA=EP
由（2）知點(diǎn)P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），E（a，0）
∴a-（-1）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$，
解這個(gè)方程，得a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去），
把a(bǔ)=2代入點(diǎn)P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
所以當(dāng)∠PAB=45°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）

點(diǎn)評(píng) 此題考查的內(nèi)容在二次函數(shù)綜合題中較為常見(jiàn)，主要涉及了：一次（二次）函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、二次函數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)．