Question

由于工程設(shè)計(jì)的需要，希望確定一條拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4，它必須滿(mǎn)足下列要求：這條拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且∠ACB=∠ABC，AB=5．試問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足要求的拋物線(xiàn)？若存在，請(qǐng)求出它的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：首先根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4與與y軸交于C點(diǎn)，確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值，并設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，0）和（x₂，0）．
根據(jù)坐標(biāo)值求得線(xiàn)段AB、AC的長(zhǎng)度，再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到AC=AB，從而解得x₁、x₂的值，A、B點(diǎn)的坐標(biāo)值即可確定．再就A、B點(diǎn)坐標(biāo)的取值討論具體的解析式．

解答：解：∵這條拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，0）和（x₂，0）
∴|AC|=

(x1-0)2+(0 -4)2

=

x12+16

，|AB|=

(x2-x1)2

=|x2-x1|
∵∠ACB=∠ABC
∴AC=AB，即

x12+16

=|x2-x1|=5
∴x₁=±3
①當(dāng)x₁=3，x₂=8時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=

1

6

x2 -

11

6

x+4
②當(dāng)x₁=3，x₂=-2時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=-

2

3

x2+

2

3

x+4
③當(dāng)x₁=-3，當(dāng)x₂=2時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=

2

3

x2+

10

3

x+4
④當(dāng)x₁=-3，當(dāng)x₂=-8時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=

1

6

x2 +

11

6

x+4
答：存在滿(mǎn)足要求的拋物線(xiàn)，這個(gè)拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=

1

6

x2 -

11

6

x+4或y=-

2

3

x2+

2

3

x+4或y=

2

3

x2+

10

3

x+4或y=

1

6

x2 +

11

6

x+4

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式和等腰三角形的性質(zhì)．在確定拋物線(xiàn)解析式時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．