如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，BC=3，CD=1．
（1）求證：tan∠AEC=
BCCD
；
（2）請?zhí)骄緽M與DM的數(shù)量關系，并給出證明．
分析：（1）由△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，易證得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得
AC
EC
=
BC
CD
，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=
AC
EC
，即可證得tan∠AEC=
BC
CD
；
（2）首先過點M作MN⊥BD，垂足為N，易得AB∥MN∥ED，又由點M是AE的中點，易得N是BD的中點，然后利用線段垂直平分線的性質，即可證得BM=DM．
解答：（1）證明：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴
AC
EC
=
BC
CD
，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=
AC
EC
，
∴tan∠AEC=
BC
CD
；

（2）BM=DM．
證明：過點M作MN⊥BD，垂足為N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵點M是AE的中點，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．
點評：此題考查了等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的性質以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用，注意掌握輔助線的作法．
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相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連CF，
（1）如圖1，當D點在BC上時，BE與CF的數(shù)量關系是
 
，位置關系是
 
，請證明．
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（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？如果成立請證明．如果不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明．
（3）如圖3，把△DEC繞C點順時針旋轉45°，若∠DCF=30°，直接寫出
BGCG
的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

10、如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠AED都是直角，點C在AD上，如果△ABC經(jīng)旋轉后能與△ADE重合，那么點
A
是旋轉中心，旋轉的最小度數(shù)為
45
度．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交 CE于點G，連接BE．下列結論中：
①CE=BD；  ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；    ④CD=EF．
一定正確的結論有（　�。�

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求證：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2
2
．求∠ACD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，直接寫出DE的長為
2
10
2
10
．（只填結果，不用寫出計算過程）

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