Question

如圖，在△ABC中，過(guò)C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，AD交BC于G，DE∥AB交AC于E．
（1）求證：AE=CE；
（2）作∠BCA的平分線CF交AD于P，交AB于F，求證：∠PCD=

1

2

∠B；
（3）在（2）的條件下，若∠B=60°，求證：AF+GC=AC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）延長(zhǎng)CD，交AB的延長(zhǎng)線于H，由AD垂直于CH，AD為角平分線，得到三角形ACH為等腰三角形，利用三線合一得到D為CH中點(diǎn)，即CD=DH，由DE與AH平行，利用平行線等分線段定理即可得證；
（2）連接HP，HG，由AD垂直平分CH，得到HG=CG，HP=CP，AH=AC，利用等邊對(duì)等角得到三對(duì)角相等，進(jìn)而得到∠AHP=∠ACP，再由∠CFH為公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形HFP與三角形CFB相似，由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠FPH=∠CBF，由CP=HP，利用等邊對(duì)等角且外角性質(zhì)，等量代換即可得證；
（3）由（2）得到∠PCD與∠PHD的度數(shù)，求出∠CPD與∠HPD的度數(shù)，根據(jù)CF為角平分線得到HP為∠FHP的平分線，得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形HFP與三角形HGP全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到HF=GH=CG，由AF+CG等量代換即可得證．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)CD，交AB的延長(zhǎng)線于H，
∵AD⊥CH，即∠ADC=∠ADH=90°，∠HAD=∠CAD，
∴∠H=∠ACH，
∴AH=AC，即△ACH為等腰三角形，
∴CD=DH，
∵DE∥AH，
∴AE=CE；
（2）連接HP，HG，
∵AD為HC的垂直平分線，
∴∠AHP=∠ACP，
∵∠CFH為公共角，
∴△HFP∽△CFB，
∴∠FPH=∠CBF，
∵CP=HP，
∴∠FPH=∠PCD+∠PHD=2∠PCD，
∴∠PCD=

1

2

∠CBF；
（3）由（2）得：∠PCD=30°=∠PHD，
∴∠CPD=∠HPD=60°，
∵CF為∠ACB的平分線，
∴HP為∠FHG的平分線，
在△HFP和△HGP中，

∠FHP=∠GHP HP=HP ∠HPF=∠HPG=60°

，
∴△HFP≌和△HGP（ASA），
∴HG=HF=CG，
則CG+AF=HF+AF=AH=AC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．