Question

【題目】如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上(不與點A，B重合)，點F在BC邊上(不與點B、C重合)．

第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當點E落在正方形上時，記為點G；

第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當點F落在正方形上時，記為點H；

依此操作下去…

(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為　 　，求此時線段EF的長；

(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH．

①請判斷四邊形EFGH的形狀為　 　，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，EF=；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范圍為：8≤y＜16．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長；

（2）①四邊形EFGH是正方形；利用三角形全等證明AE＝BF；

②求面積y的表達式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．

解：（1）如題圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF＝DF＝DE，則△DEF為等邊三角形．

在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴AE＝CF．

設(shè)AE＝CF＝x，則BE＝BF＝4﹣x

∴△BEF為等腰直角三角形．

∴．

∴．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：，

解得：，（舍去）

∴．

DEF的形狀為等邊三角形，EF的長為．

（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE＝BF．理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF＝FG＝GH＝HE，

∴四邊形EFGH是菱形，

由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，

∴四邊形EFGH的形狀為正方形．

∴∠HEF＝90°

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3．

∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠2＝∠4．

在△AEH與△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）

∴AE＝BF．

②利用①中結(jié)論，易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形，

∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．

∴．

∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）

∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，

∴當x＝2時，y取得最小值8；當x＝0時，y＝16，

∴y的取值范圍為：8≤y＜16．

故答案是：（1）等邊三角形，；（2）①正方形，AE=BF，②y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范圍為：8≤y＜16．