【答案】
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的對稱性,又由AB=6,對稱軸x=4,即可求得A,B的坐標(biāo);
(2)利用待定系數(shù)法,設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-h)
2+k,又由拋物線過點(diǎn)A,B,D即可求得拋物線的解析式;
(3)由PA=PB,可知:當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時PA+PD取得最小值,則可利用△BPM∽△BDO求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),利用三角函數(shù)求得∠ACB的度數(shù),分當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時與當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時求解即可,注意要檢驗(yàn)是否所得結(jié)果符合題意.
解答:解:(1)∵對稱軸為直線x=4,圖象在x軸上截得的線段長為6,
∴A(1,0)、B(7,0);
(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-h)
2+k,
∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,且過點(diǎn)(0,
),
∴y=a(x-4)
2+k
=16a+k①,
又∵對稱軸為直線x=4,圖象在x軸上截得的線段長為6,
∴A(1,0),B(7,0),
∴0=9a+k②,
由①②解得a=
,k=-
,
∴二次函數(shù)的解析式為:y=
(x-4)
2-
或y=
x
2-
x+
.
(3)解法一:∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對稱,
∴PA=PB,
∴PA+PD=PB+PD≥DB,
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時PA+PD取得最小值,
∴DB與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P,
設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M,
∵PM∥OD,
∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO,
∴△BPM∽△BDO,
∴
,
∴PM=
=
,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,
).
解法二:利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,即直線DB為y=-
+
.
(4)由(1)知點(diǎn)C(4,-
),
又∵AM=3,
∴在Rt△AMC中,cos∠ACM=
,
∴∠ACM=60°,
∵AC=BC,
∴∠ACB=120°
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時,過Q作QN⊥x軸于N,如果AB=BQ,
由△ACB∽△ABQ有BQ=6,∠ABQ=∠ACB=120°,則∠QBN=60°,
∴QN=3
,BN=3,ON=10,此時點(diǎn)Q(10,3
),如果AB=AQ,由對稱性知Q(-2,3
)
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時,△QAB就是△ACB,此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,-
),
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(10,3
)與(-2,3
)都在拋物線上,
綜上所述,經(jīng)驗(yàn)證:存在這樣的點(diǎn)Q,使△QAB∽△ABC,
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10,3
)或(-2,3
)或(4,-
).
點(diǎn)評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)對稱性求點(diǎn)的坐標(biāo),以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.