Question

如圖，點(diǎn)P是函數(shù)y=

2k

x

上第一象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且A（0，k），B（k，0）．已知△OAB的面積為

1

2

．
（1）若△PAB是直角三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

 

：
（2）連結(jié)PA、PB、AB，設(shè)△PAB的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；    
（3）閱讀下面的材料回答問題：
當(dāng)a＞0時(shí)，
a+

1

a

=（

a

）²+（

1

a

）²=（

a

）²-2+（

1

a

）²+2
=（

a

-

1

a

）²+2
因?yàn)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

-

1

a

）²≥0，所以a+

1

a

≥2，且當(dāng)

a

-

1

a

=0時(shí)，即a=1時(shí)，取得最小值2．
因此可得結(jié)論：a＞0時(shí)，a+

1

a

在a=1處有最小值為2．
問題：請你根據(jù)上述材料研究（2）中△PAB的面積S有沒有最小值？若有，當(dāng)m為何值時(shí)△PAB的面積S取最小值，并求出S的最小值；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：閱讀型,分類討論,配方法

分析：（1）根據(jù)條件可求出k、OA、OB、∠OBA、∠OAB．由于直角△PAB中的直角不確定，因此需分三種情況討論，只需利用點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足反比例的解析式就可解決問題．
（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，連接OP，如圖2．運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問題．
（3）可借鑒閱讀材料的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用配方法就可解決問題．

解答：解：（1）由圖可知：2k＞0，即k＞0．
則S_△OAB=

1

2

OB•OA=

1

2

k²=

1

2

．
解得：k₁=1，k₂=-1．
∵k＞0，∴k=1．
∴A（0，1），B（1，0）．
∴OA=OB=1．
∴∠OBA=∠OAB=45°．
①若∠ABP=90°，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，
連接PA、PB，如圖1①．
則有∠PBC=45°=∠BPC．
∴BC=PC
設(shè)BC=x則OC=x+1，PC=x．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x+1，x）．
∵點(diǎn)P在函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
∴x（x+1）=2．
整理得：x²+x-2=0．
解得：x₁=-2（舍），x₂=1．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．
②若∠BAP=90°，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，連接PA、PB，如圖1②．
同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．
③若∠BPA=90°，
則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上．
所以當(dāng)OP為直徑時(shí)最長，等于AB長，等于

2

．
而函數(shù)y=

2

x

的圖象上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

，

2

），該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2．
由于

2

＜2，因此此條件下的點(diǎn)P不存在．
綜上所述：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或（1，2）．
故答案為：（2，1）或（1，2）．

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，連接OP，如圖2．
∵x_P=t，∴y_P=

2

t

．∴PG=t，PH=

2

t

．
則S=S_{四邊形OAPB}-S_△OAB
=S_△OAP+S_△OBP-S_△OAB
=

1

2

OA•PG+

1

2

OB•PH-

1

2

=

1

2

×1×t+

1

2

×1×

2

t

-

1

2

=

t

2

+

1

t

-

1

2

，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴t＞0．
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=

t

2

+

1

t

-

1

2

，t的取值范圍為t＞0．

（3）S=

t

2

+

1

t

-

1

2

=

1

2

（t+

2

t

-1）
=

1

2

（t+

2

t

-2

2

+2

2

-1）
=

1

2

[（

t

-

2

t

）²+2

2

-1]
=

1

2

（

t

-

2

t

）²+

2

-

1

2

．
∴當(dāng)

t

=

2

t

即t=

2

時(shí)，S取到最小值，最小值為

2

-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元二次方程等知識，考查了分類討論、割補(bǔ)法、配方法等思想方法，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用配方法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．