Question

【題目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥MN于點(diǎn)B，連接CB．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖（1），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與MN交于點(diǎn)E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ， BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）拓展探究
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時(shí)，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．

（3）解決問(wèn)題
當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時(shí)（點(diǎn)C、D在直線MN兩側(cè)），若此時(shí)∠BCD=30°，BD=2時(shí)，CB= ．

Answer 1

【答案】
（1）BD=AE,BD+AB= CB
（2）解：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，

∴BD﹣AB= CB；

（3） ﹣
【解析】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

∴BD+AB= CB；

所以答案是：BD=AE，BD+AB= CB；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作⊥CB交MN于點(diǎn)E，

（3）∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCE，

∠BCD=90°﹣∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，

∴AB﹣DB= CB；

∵△BCE為等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

∴BD= BH=2，

∴BH=DH= ，

在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，

∴CH= DH= × = ，

∴BC=CH﹣BH= ﹣ ；

所以答案是： ﹣ ．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．