Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（其中m＞0）與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)c．

（1）求△AOC的周長，（用含m的代數(shù)式表示）

（2）若點(diǎn)P為直線AC上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，滿足OP2=PCPA，求tan∠APO的值及用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的情況下，線段OP與拋物線相交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q恰好為OP的中點(diǎn)，此時(shí)對于在拋物線上且介于點(diǎn)C與拋物線頂點(diǎn)之間（含點(diǎn)C與頂點(diǎn)）的任意一點(diǎn)M（x0，y0）總能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） 3m+3m；（2）tan∠APO=，P（﹣）；（3） ≤n≤2．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0，計(jì)算拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)C和A的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，根據(jù)三角形的周長可得結(jié)論；

（2）根據(jù)特殊三角函數(shù)值可得∠CAO=30°，證明△OPA∽△CPO，則∠POC=∠OAC=30°，可得tan∠APO=，過P作PE⊥x軸于E，表示OE和PE的長，根據(jù)點(diǎn)P在第二象限，可得P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式可得m的值，計(jì)算對稱軸，得x0的取值范圍，根據(jù)兩個(gè)不等式確定其解集即可．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣××（﹣3m）=m，∴C（0，m），∴OC=m，當(dāng)y=0時(shí)，﹣=0，解得：x1=﹣，x2=3m．

∵A在B的右側(cè)，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC===2m，∴△AOC的周長=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m；

（2）Rt△AOC中，tan∠OAC===，∴∠CAO=30°．

∵OP2=PCPA，∴．

∵∠OPC=∠OPC，∴△OPA∽△CPO，∴∠POC=∠OAC=30°．

∵∠ACO=∠POC+∠APO，∴∠APO=60°﹣30°=30°，∴tan∠APO=．

過P作PE⊥x軸于E．

∵∠APO=∠OAC=30°，∴PO=OA=3m，∠POE=60°，Rt△PEO中，∠EPO=30°，∴OE=OP=，PE=．

∵點(diǎn)P在第二象限，∴P（﹣）；

（3）由（2）知：P（﹣）．

∵點(diǎn)Q恰好為OP的中點(diǎn)，∴Q（﹣）．

∵Q在拋物線上，則=﹣，解得：m=，∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣，對稱軸是：x=﹣=，作拋物線的對稱軸交拋物線于點(diǎn)F．

∵M在點(diǎn)C與頂點(diǎn)F之間（含點(diǎn)C與頂點(diǎn)F），∴0≤x0≤，n≤，設(shè)w1=．

∵1＞0，∴w1隨x0的增大而增大，∴當(dāng)x0=時(shí)，w1有最大值，即有最小值為2，∴n≤2，對于不等式2n﹣，n≥﹣2，n≥﹣2（x0﹣）2+，設(shè)w2=﹣2（x0﹣）2+．

∵﹣2＜0，∴w2有最大值．

∵0＜＜，∴當(dāng)x0=時(shí)，w2有最大值為，∴n≥．

綜上所述：n的取值范圍是≤n≤2．