【題目】如圖,平面直角坐標系中,點A、B、Cx軸上,點D、Ey軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點,直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點,與其對稱軸交于M,點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合),PQy軸與拋物線交于點Q.

(1)求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式;

(2)判斷△BDC的形狀,并給出證明;當(dāng)P在什么位置時,以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形,并求出此時點P的坐標;

(3)若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)△BDC是直角三角形,證明見解析;POC是等腰三角形時,點P坐標是(﹣1+,1+)或(2,4);(3)不能成為菱形理由見解析;②能成為等腰梯形點P的坐標是(2.5,4.5).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式.(2)利用勾股定理的逆定理,判斷直角三角形.(3)分別設(shè)出P,Q點坐標,按照菱形的條件,等腰梯形的條件,分別求P點坐標,判斷是否存在.

(1)B(﹣1,0)E(0,4)C(4,0)設(shè)解析式是y=ax2+bx+c,

可得,

解得,

y=x2+3x+4;

(2)BDC是直角三角形,

BD2=BO2+DO2=5,DC2=DO2+CO2=20,BC2=(BO+CO2=25

BD2+DC2=BC2

∴△BDC是直角三角形.

A坐標是(﹣2,0),點D坐標是(0,2),

設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b,則,

解得:,

則直線AD的解析式是y=x+2,

設(shè)點P坐標是(x,x+2)

當(dāng)OP=OCx2+(x+2)2=16,

解得:x=﹣1±x=1-(不符合,舍去)此時點P(﹣1+,1+

當(dāng)PC=OC時(x+2)2+(4﹣x2=16,方程無解;

當(dāng)PO=PC時,點POC的中垂線上,

∴點P橫坐標是2,得點P坐標是(2,4);

∴當(dāng)POC是等腰三角形時,點P坐標是(﹣1+,1+)或(2,4);

(3)點M坐標是(,,點N坐標是(,,MN=

設(shè)點P為(x,x+2),Qx,﹣x2+3x+4),則PQ=x2+2x+2

①若PQNM是菱形,則PQ=MN,可得x1=0.5,x2=1.5

當(dāng)x2=1.5時,點P與點M重合;當(dāng)x1=0.5時,可求得PM=所以菱形不存在.

②能成為等腰梯形,作QHMN于點H,作PJMN于點J,則NH=MJ,

﹣(﹣x2+3x+4)=x+2﹣,

解得:x=2.5,

此時點P的坐標是(2.5,4.5).

 

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