Question

如圖1所示，點A為雙曲線y=

k

x

(x＞0)上一點，過點A作AD⊥y軸于D點，連接AO．
（1）若△ADO的面積為3，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2所示，在（1）的條件下，以A為直角頂點作等腰Rt△ABC，其中點B在x軸的負半軸，點C在x軸的正半軸，求OC²-OB²的值；
（3）如圖3所示，在（1）的條件下，若B點的坐標(biāo)為B（-1，0），雙曲線上是否存在一點P，連接AO、PO，使得∠AOP=45°？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（a，

k

a

），則AD=a，OD=

k

a

，再由S_△ADO=3即可得出k的值，進而得出結(jié)論；
（2）作AM⊥x軸于點M，設(shè)A（a，b），則OM=a，由△ABC為等腰直角三角形可知AM=BM=CM=b，再由OC²-OB²=（OM+CM）²-（BM-OM）²即可得出結(jié)論；
（3）由（2）知，OC²-OB²=24，由B（-1，0）可得出OB，OC=5的長，作MA⊥OA交OP于M，連接CM，則∠2+∠OAC=90°，再由∠1+∠OAC=90°可知∠1=∠2，由∠AOP=45°，∠OAM=90°，可得出OA=AM，由AB=AC，可知△AOB≌△AMC，所以CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°再由CM⊥OC可得出M的坐標(biāo)，設(shè)直線OM的解析式為y=kx（k≠0），把M點的坐標(biāo)代入可求出k的值，進而得出其解析式，再聯(lián)立正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，故直線OM的解析式為y=

1

5

x，由此可得出P點坐標(biāo)，進而可得出結(jié)論．．

解答：解：（1）設(shè)A（a，

k

a

），則AD=a，OD=

k

a

，
∵S_△ADO=3，
∴

1

2

a•

k

a

=3，
解得k=6，
∴此函數(shù)的解析式為：y=

6

x

；

（2）作AM⊥x軸于點M，設(shè)A（a，b），則OM=a，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AM=BM=CM=b，
∴OC²-OB²=（OM+CM）²-（BM-OM）²，
=（a+b）²-（b-a）²
=4ab
=4×6
=24；


（3）由（2）知，OC²-OB²=24，
∵B（-1，0），
∴OB=1，
∴OC=5，
作MA⊥OA交OP于M，連接CM，則∠2+∠OAC=90°，
∵∠1+∠OAC=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=45°，∠OAM=90°，
∴OA=AM，
∵AB=AC，
∴

AB=AC ∠1=∠2 OA=AM

，
∴△AOB≌△AMC（SAS），
∴CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°
∴CM⊥OC，
∴M（5，1），
設(shè)直線OM的解析式為y=kx（k≠0），
∴1=5k，解得k=

1

5

，
∴直線OM的解析式為y=

1

5

x，
把兩解析式聯(lián)立得，

y= 6 x y= 1 5 x

，
解得

x= 30 y= 30 5

或

x= 30 y=- 30 5

（舍去），
∴P（

30

，

30

5

），
∴存在點P使∠AOP=45°．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，難度適中．