Question

九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐——應(yīng)用——探究的過程

（1）實(shí)踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測量，測得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖所示的直角坐標(biāo)系，請你求出拋物線的解析式

（2）應(yīng)用：按規(guī)定機(jī)動(dòng)車輛通過隧道時(shí)，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙）？

（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探究拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問題，請予解答：

①如圖，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸上，設(shè)矩形ABCD的周長為為l，求l的最大值

②如圖，過原點(diǎn)作一條直線y=x，交拋物線于M，交拋物線的對稱軸于N，P為直線OM上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，問在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）y=－x²＋x

（2）當(dāng)x=2或x=8時(shí)

（3）（Ⅰ）AB=2x-10  BC=y=－x²＋x  l=－x²＋9x－20=－（x－9）²＋

（Ⅱ）存在，這樣的點(diǎn)有四個(gè)

∵P點(diǎn)在直線y=x上，設(shè)P（x,x），Q（x, －x²＋x）

（A）  當(dāng)∠P₁Q₁N=90°時(shí)，

Q點(diǎn)在OM的上方時(shí)，P₁Q₁=NQ₁，P₁Q₁=－x²＋x －x，NQ₁=5-x

Q點(diǎn)在OM的下方時(shí)，P₂Q₂=NQ₂，P₂Q₂= x－（－x²＋x），NQ₁=x – 5

∴x²－x＋5=0

∴P₁（5＋，5＋）、P₂（5－，5－）

（B）  當(dāng)∠P₃N Q₃=90°時(shí)，過點(diǎn)Q3作Q3K⊥對稱軸

當(dāng)△NQ₃K₁為等腰直角三角形時(shí)，△NP₃Q₃為等腰直角三角形

Q點(diǎn)在OM的上方時(shí)，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=－x²＋x －x，Q₃K₁=5-x

Q點(diǎn)在OM的下方時(shí)，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄= x－（－x²＋x），Q₄K₂= x – 5

∴x²－x＋10=0

∴P3（4，4）、P4（10，10）

 

 

 

 

解析:略