Question

如圖，在正△ABC中，點D是AC的中點，點E在BC上，且

CE

BC

=

1

3

．求證：
（1）△ABE∽△DCE；
（2）S△DCE=6

3

 cm2，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由題意可以得出∠B=∠C=60°，又

CE

BC

=

1

2

=

CE

BE+CE

，所以

BE

CE

=2，又點D是AC的中點，即：

AB

CD

=

AC

CD

=

BE

EC

=

1

2

，所以△ABE∽△DCE；
（2）由（1）知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性質（相似三角形的面積之比等于邊之比的平方）可得S_△ABE=（

AB

DC

）²×S_△DCE=4×6

3

=24

3

cm²，又AD=DC且△AED與△EDC具有相同的高和底，所以S_△AED=S_△EDC=6cm²，S_△ABC=S_△ABE+S_△DCE+S_△AED，代入求值．

解答：（1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
∵點D是AC的中點，
∴AC=2CD．
∵

CE

BC

=

1

3

，
∴BE=2CE．
∴

AB

CD

=

BE

CE

=

1

2

．
∴△ABE∽△DCE．

（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴S_△ABE=（

AB

DC

）²×S_△DCE=4×6

3

=24

3

cm²，
又∵AD=DC且△AED與△EDC具有相同的高和底，
∴S_△AED=S_△EDC=6

3

cm²
∴S_△ABC=S_△ABE+S_△DCE+S_△AED=24

3

+6

3

+6

3

=36

3

cm²．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質，已知其中一個三角形的面積，根據兩個相似三角形的面積之比等于邊之比的平方，求出另一個三角形的面積，另外同底且同高三角形的面積相等．