Question

如圖，P是射線y=x（x＞0）上的一個動點，以點P為圓心的圓與y軸相切于點C，與x軸的正半軸交于A、B兩點．
（1）若⊙P的半徑為5，求A、P兩點的坐標(biāo)？
（2）求以P為頂點，且經(jīng)過點A的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式？
（3）在（2）的條件下，上述拋物線是否經(jīng)過點C關(guān)于原點的對稱點D？請說明理由．
（4）試問：是否存在這樣的直線l，當(dāng)點P在運動過程中，經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的頂點都在直線l上？若存在，請求出直線l所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知，已知PC=5，
解得OC=3=y_P，則x_P=5，
故P點坐標(biāo)為P（5，3），C點坐標(biāo)為C（0，3），
圓P的方程為（x-5）²+（y-3）²=25，
令y=0，解得x=1或x=9，
由圖象可知A、B點坐標(biāo)為A（1，0），B（9，0）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+3，
將A點坐標(biāo)為A（1，0），代入y=a（x-5）²+3，
解得a=-，
故拋物線的解析式為y=-（x-5）²+3，

（3）因為D與C關(guān)于原點對稱，故D點坐標(biāo)為D（0，-3），
將D點坐標(biāo)代入y=-（x-5）²+3，
即-3≠-（0-5）²+3=-，
故點D不在拋物線上；

（4）設(shè)P（m，n），m＞0，則n=m，
過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，則AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=m，
∴AQ=m，
∴A（m，0），B（m，0），C（0，m），
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=a（x-m）（x-m），
將C（0，）代入解析式，
得a=，
∴y=（x-m）（x-m）
=（x²-2mx+m²）
=[（x-m）²-m²]
∴y=（x-m）²-m
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（m，-m）
∴存在直線l：y=-x，
當(dāng)P在射線y=x上運動時，過A，B，C三點的拋物線的頂點都在直線上．存在直線l：y=-x．
分析：（1）根據(jù)射線的斜率先求出C點坐標(biāo)，進而求得P點坐標(biāo)，再求出圓P的方程，令y=0即可求出A點坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+3，將A點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（3）先求出D點坐標(biāo)，再將D點坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可驗證點D不在拋物線上；
（4）可先根據(jù)直線OP的解析式設(shè)出P點的坐標(biāo)，然后用P點的橫坐標(biāo)仿照（1）的方法求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點的拋物線的解析式，求出其頂點坐標(biāo)，根據(jù)這個頂點坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和圓的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．