【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任一點(不與A,B重合),AB⊥CD于E,BF為⊙O的切線,OF∥AC,連接AF,CF,AF與CD交于點G,與⊙O交于點H,連接CH.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)求證:EG=GC;
(3)若cos∠AOC=,⊙O的半徑為9,求CH的長.
【答案】(1)證明見解析;
(2)證明見解析;
(3)CH的長為
【解析】試題分析:(1)根據(jù)OF∥AC,OA=OC,判斷出∠BOF=∠COF;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△BOF≌△COF,推得∠OCF=∠OBF=90°,再根據(jù)點C在⊙O上,即可判斷出FC是⊙O的切線. (2)根據(jù)已知條件△AEC∽△OBF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 = ,再由∠EAG=∠BAF,∠AEG=∠ABF,可得△AEG∽△ABF,即可得 = ,因AB=2OB,所以 = ,即 = ,所以EC=2EG,即可得結(jié)論EG=GC ;
(3)延長CO交⊙O于K,連接HK,易證∠CAF=∠HCF,再由∠AFC=∠CFH,即可判斷△ACF∽△CHF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 = ,因cos∠AOC= ,OC=9,可得 = = ,即可求得OE=6,所以AE=3,EC 2=OC 2-OE 2=45,由勾股定理可得AC= =3,再由 = ,可求得BF=9,再由勾股定理可得AF= =27,BF、CF都是⊙O的切線,根據(jù)切線長定理可得CF=BF=9,由此求得CH= .
試題解析:
(1)∵BF為⊙O的切線,∴∠OBF=90°
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA
∵OF∥AC,∴∠OAC=∠BOF,∠OCA=∠COF
∴∠BOF=∠COF
又OB=OC,OF=OF,∴△OBF≌△OCF
∴∠OCF=∠OBF=90°
∴CF是⊙O的切線
(2)∵AB⊥CD,∴∠AEC=90°
∴∠AEC=∠OBF
又∠EAC=∠BOF,∴△AEC∽△OBF
∴ =
∵∠EAG=∠BAF,∠AEG=∠ABF
∴△AEG∽△ABF,∴ =
∵AB=2OB,∴ = ,即 =
∴EC=2EG,∴EG=GC
(3)延長CO交⊙O于K,連接HK
則∠K=∠CAF,∠K+∠OCH=90°
∵∠OCF=90°,∴∠HCF+∠OCH=90°
∴∠CAF=∠HCF
又∠AFC=∠CFH,∴△ACF∽△CHF,∴ =
∵cos∠AOC= ,OC=9,∴ = =
∴OE=6,∴AE=3,EC 2=OC 2-OE 2=45
∴AC= =3
∵ = ,∴ = ,∴BF=9
∴AF= =27
∵BF、CF都是⊙O的切線,∴CF=BF=9
∴ = ,∴CH=
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【題目】下列命題中,真命題是( )
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.對角線互相垂直的四邊形是菱形
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D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形一定是正方形
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【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如圖1,若A,B兩點的坐標(biāo)分別是A(0,4),B(﹣2,0),求C點的坐標(biāo);
(2)如圖2,作∠ABC的角平分線BD,交AC于點D,過C點作CE⊥BD于點E,求證:CE= BD;
(3)如圖3,點P是射線BA上A點右邊一動點,以CP為斜邊作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點,當(dāng)點P運(yùn)動時,點Q是否恒在射線BD上?若在,請證明;若不在,請說明理由.
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【題目】“m=﹣1”是“直線l1:mx+(2m﹣1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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