Question

AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，弧AB的中點D到AB的距離為2，則弦AB的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：計算題

分析：由點D為弧AB的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥AB，且∠AOD=

1

2

∠AOB=60°，再根據(jù)垂徑定理得到AC=BC，且有CD=2，在Rt△AOC中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到若OC=x，則OA=2x，AC=

3

x，然后利用OD=2x得2x=2+x，解得x=1，所以AC=

3

，則AB=2AC=2

3

．

解答：解：如圖，OD與AB交于C，
∵點D為弧AB的中點，
∴OD⊥AB，∠AOD=∠BOD=

1

2

∠AOB=

1

2

×120°=60°，
∴AC=BC，CD=2，
在Rt△AOC中，∠A=30°，
設OC=x，則OA=2x，AC=

3

x，
∵OD=2x，
∴2x=2+x，解得x=1，
∴AC=

3

，
∴AB=2AC=2

3

．
故答案為2

3

．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條��；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條��；平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條�。�也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．