Question

如圖，已知Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，EA平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，過E作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)G，AE、BC交于點(diǎn)D．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若tan∠G=，EF=4，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OE交BC于M，
∵EF是圓的切線，
∴∠OEF=90°，
∵EA平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，
∴∠FAE=∠EAO，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠OMB=90°，
∴∠OEF=∠OMB=90°，
∴EF∥BC；

（2）連接OB，
∵BC∥EF，
∴∠AFE=∠ABC=90°，
∵EF是切線，
∴∠MEF=90°，
四邊形BFEM是矩形，
∴FE=BM=4，
∴BC=8，
∵tan∠G=，
∴tan∠ABC=，
∵AB=6，∴AC=10，
∴OB=5，∴OM=3，
∴EM=2，
∵AF=AB+BF=8，
∴tan∠FAE=，
∴tan∠FAE=tan∠DEM=，
∵EM=2，
∴DM=1，
∴DE==．
分析：（1）連接OE交BC于M，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OEF=90°，由圓的性質(zhì)和角平分線的定義可證明OE∥AB，所以可得∠OMB=90°，所以∠OEF=∠OMB=90°，進(jìn)而證明EF∥BC；
（2）連接OB，由題意可證明四邊形BFEM是矩形，所以BM=EF=4，由（1）可知BC∥FG，所以∠G=∠ACB，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義即可求出DE的長．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用和銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不�。�