Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)（不包括射線的端點(diǎn)）.如圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況.
研究：

⑴三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖2加以證明.
⑵三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長；若不能，請說明理由.
⑶若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB＝1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖4加以證明.

Answer 1

① PD=PE  ② 1     ③  ME=3MD

解析試題分析：解：（1）證明：連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點(diǎn)，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，∴PD=PE．
（2）分三種情況討論如下：
①當(dāng)PE=PB，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，即CE=0．
②當(dāng)PE=BE時，CE=1．
③當(dāng)BE=PB時
若點(diǎn)E在線段CB上時，CE=2-
若點(diǎn)E在CB延長線上時CE=2+
（3）過點(diǎn)M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵
而HB=MH，∴
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，即
考點(diǎn)：相似三角形及全等三角形判定性質(zhì)
點(diǎn)評：本題難度較大，主要考查學(xué)生對相似三角形和全等三角形判定與性質(zhì)知識點(diǎn)掌握。為中考�？碱}型，要求學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，靈活運(yùn)用到考試中去。