Question

如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2a．

（1）求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積；

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，要求圓環(huán)的面積，只需測(cè)量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積；

（3）將條件中的“正三角形”改為“正方形”“正六邊形”，你能得出怎樣的結(jié)論？

（4）已知正n邊形的邊長(zhǎng)為2a，請(qǐng)寫出它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）a²；（2）弦AB或BC或AC；

（3）圓環(huán)的面積均為·（）²；（4）a²

【解析】

試題分析：正多邊形的邊心距，半徑，邊長(zhǎng)的一半正好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理就可以求解．

（1）設(shè)正三角形ABC的中心為O，BC切⊙O于點(diǎn)D連接OB、OD，

則OD⊥BC，BD=DC=a；

則S圓環(huán)=π•OB²-π•OD²=π（OB²-OD^2）=π• BD² =πa²．

（2）只需測(cè)出弦BC的長(zhǎng)（或AC，AB）．

（3）結(jié)果一樣，即S圓環(huán)=πa²

（4）S圓環(huán)=πa²．

考點(diǎn)：本題考查的是正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：正多邊形的計(jì)算，一般是過中心作邊的垂線，連接半徑，把內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高，中心角之間的計(jì)轉(zhuǎn)化為解直角三角形．