Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x＝上．
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；
(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(4)在(2)、(3)的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合)，過點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) .(2)是，理由見解析；（3）(，).（4）當(dāng)時(shí)，S取最大值是.此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，).

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），以及頂點(diǎn)在直線x=上，得出b，c即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可．
（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時(shí)，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出，得到ON=t，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．
試題解析：（1）∵拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B(0，4)，∴c＝4.
∵頂點(diǎn)在直線x＝上，∴，解得.
∴所求函數(shù)關(guān)系式為.
（2）C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)，
當(dāng)x＝5時(shí)，；
當(dāng)x＝2時(shí)，.
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上.
（3）設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，
設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，
則，解得，.∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
當(dāng)x＝時(shí)，.∴P(，).
（4） (0＜t＜4).
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S取最大值是.此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，).