Question

【題目】尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

求證：．

該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來(lái)，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算，消去m，n即可得證．

（1）請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過(guò)程．

（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖2所示，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF=c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到，，則，而，所以；

（2）利用（1）的結(jié)論得==45，再利用△AEG∽△CEB可計(jì)算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長(zhǎng)比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得=5．

試題解析：（1）設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，∵AF，BE是△ABC的中線，∴EF為△ABC的中位線，AE=b，BF=a，∴EF∥AB，EF=c，∴△EFP∽△BPA，∴，即=，∴PB=2n，PA=2m，在Rt△AEP中，∵，∴①，在Rt△AEP中，∵，∴②，①+②得，在Rt△EFP中，∵，∴，∴，∴；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，由（1）的結(jié)論得==45，∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴，∴AG=1，同理可得DH=1，∴GH=1，∴GH∥BC，∴，∴MB=3GM，MC=3MH，∴，∴=5．