Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD：y=-

1

2

x+m與直線AB交于點(diǎn)E，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

4

3

．
（1）求m的值；
（2）點(diǎn)P（t，0）在x軸上，作線段PD的垂直平分線交直線DE于M，交x軸與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的長(zhǎng)為d，當(dāng)-6＜t＜8時(shí)，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接BP與BM，求當(dāng)t為何值時(shí)∠PBM=45°，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入直線y=x+6中求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；然后將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CD的解析式即可求得m的值；
（2）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)MN∥x軸表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求得函數(shù)的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PG垂直于AB于點(diǎn)G，利用構(gòu)建相似三角形△BPG∽△BMH，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E在直線y=x+6上，且E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

4

3

，
∴y=-

4

3

+6=

14

3

，即E（-

4

3

，

14

3

）．
又∵點(diǎn)E也在直線y=-

1

2

x+m上，
∴

14

3

=-

1

2

×（-

4

3

）+m，
解得m=4，即m的值為4；

（2）由直線CD：y=-

1

2

x+4知，D（8，0）．
∵點(diǎn)P（t，0），點(diǎn)F是線段PD的中點(diǎn)，
∴F（

8+t

2

，0）．
又∵M(jìn)F⊥PD，點(diǎn)M在直線CD上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)都是

8+t

2

，則y_M=-

1

2

•

8+t

2

+4=-

t

4

．
∵M(jìn)N∥x軸，且點(diǎn)N在直線y=x+6上，
∴y_N=y_M=-

t

4

=x_N+6，
解得x_N=-

t

4

+6，
∴MN=x_M-x_N=

8+t

2

-6+

t

4

=

3

4

t-2，即d=

3

4

t-2（-6＜t＜8）；

（3）如圖，連接BP、BM．P作PG垂直于AB于點(diǎn)G．設(shè)MN交y軸于點(diǎn)H．
∵y=x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴AG=PG=

2

2

（t+6）．
∵∠PBM=45°，
∴∠GBP=∠FBM．
又∵∠BGP=∠BHM=90°，
∴△BPG∽△BMH，
∴

BG

BH

=

PG

MH

，即

6 2 - 2 2 (t+6)

6- 8+t 4

=

2 2 (t+6)

8-t 2

，
解得t=0．   
則點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合，
∴OF=

1

2

OD=4，
∴F（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等．注意（3）題中構(gòu)建相似三角形的輔助線的作法．