Question

（2008•上海模擬）已知：在正方形ABCD中，M是邊BC的中點（如圖所示），E是邊AB上的一個動點，MF⊥ME，交射線CD于點F，AB=4，BE=x，CF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．
（2）當(dāng)點F在邊CD上時，四邊形AEFD的周長是否隨點E的運動而發(fā)生變化？請說明理由．
（3）當(dāng)DF=1時，求點A到直線EF的距離．

Answer 1

分析：（1）證△BEM∽△CMF，推出

BE

CM

=

BM

CF

，代入求出xy=4即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出x+y=EF，代入即可求出答案；
（3）分為兩種情況：①F在線段CD上時，求出y=3，x=

4

3

，EF=x+y═

13

3

，過A作AN⊥EF于N，根據(jù)面積公式求出即可；
①當(dāng)F在CD的延長線上時，求出y=5，x=

4

5

，EF=x+y=

29

5

，過A作AN⊥EF于N，根據(jù)面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EM⊥FM，
∴∠EMF=90°，
∴∠BEM+∠BME=90°，∠BME+∠CMF=90°，
∴∠BEM=∠FMC，
∴△BEM∽△CMF，
∴

BE

CM

=

BM

CF

，
∵BM=CM=

1

2

BC=

1

2

×4=2，BE=e，CF=y，
∴xy=4
x的取值范圍是0＜x≤4；

（2）不變，
理由是：∵根據(jù)勾股定理得：EM²=BE²+BM²=x²+2²=x²+4，F(xiàn)M²=y²+4，
∴EF²=EM²+FM²=x²+4+y²+4=x²+y²+8，
∵xy=4，
∴EF²=（x+y）²，
∴EF=x+y，
∴四邊形AEFD的周長是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12．

（3）解：分為兩種情況：①F在線段CD上時，如圖備用圖，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4-1=3，x=

4

y

=

4

3

，EF=x+y=3+

4

3

=

13

3

，
過A作AN⊥EF于N，
則S_△AEF=S_梯形AEFD-S_△ADF=

1

2

（3+4-

4

3

）×4-

1

2

×4×1=

1

2

EF×AN，
∴AN=

8

3

；
②當(dāng)F在CD的延長線上時，如圖，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4+1=5，x=

4

5

，EF=x+y=

29

5

，
過A作AN⊥EF于N，
則S_△AEF=S_{正方形ABCD}+S_△ADF-S_梯形BEFC=4×4+

1

2

×4×1-

1

2

×（

4

5

+5）×4=

1

2

EF×AN，
∴AN=

29

64

．

點評：本題考查了三角形面積、梯形面積、正方形面積，正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．