Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且DE⊥BE．
（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求△DBE外接圓的半徑及CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BD的中點O，連接OE，證明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；
（2）設⊙O的半徑為r，則在Rt△AOE中，利用勾股定理列出有關半徑的方程求得半徑即可，在直角三角形AEO中利用面積相等的方法求得線段EF的長后即可求得CE的長．
解答：解：（1）直線AC與△DBE外接圓相切．理由：
∵DE⊥BE
∴BD為△DBE外接圓的直徑
取BD的中點O（即△DBE外接圓的圓心），連接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°
即OE⊥AC
∴直線AC與△DBE外接圓相切；

（2）設⊙O的半徑為r，則在Rt△AOE中，AD=6，AO=r+6，AE=6，
OA²=OE²+AE²，
即：（r+6）²=r²+（6）²，
解得：r=3
則△BDE的外接圓的半徑為3．
過點E作EF⊥AB于F，
∵BE平分∠ABC，∠C=90°
∴EF=EC
在Rt△AOE中，AO=6+3=9，•EO=AO•EF
EF===2
∴CE=EF=2
∴外接圓的半徑為3，CE的長為2．
點評：本題考查了切線的判定及勾股定理，在判定切線時通常先連接圓心和切點，然后證明垂直即可．