Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC的度數(shù)是（ ）

A.128°B.118°C.108°D.98°

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點(diǎn)O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OCB=∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．

解：如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線，

∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分線，

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，

∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS），

∴OB=OC，

∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，

又∵DO是AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)O是△ABC的外心，

∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，

∴OE=CE，

∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，

故選：C．