Question

13．如圖，等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，頂點(diǎn)A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上，頂點(diǎn)B在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，若△OAB的面積是$\frac{25}{2}$，則k的值是7．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），由等腰直角三角形△AOB的面積為$\frac{25}{2}$且點(diǎn)A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上求得點(diǎn)A坐標(biāo)，再證△ACO≌△AEB可得AC=AE、CO=BE，繼而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求得k的值．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵S_△AOB=$\frac{25}{2}$，且△AOB為等腰直角三角形，
∴a²+b²=25 ①，
又∵點(diǎn)A在y=-$\frac{12}{x}$（x＜0）上，
∴ab=-12  ②，
由①、②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，4）或（-4，3），
∵AC⊥x軸、BD⊥x軸、AE⊥BD，
∴四邊形ACDE是矩形，
∴∠CAO+∠OAE=90°，
又∵∠OAE+∠EAB=90°，
∴∠CAO=∠EAB，
在△ACO和△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠AEB=90°}\\{∠CAO=∠EAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△AEB（AAS），
∴AC=AE，CO=BE，
①若點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，4），
則OD=AE-CO=AC-CO=1，BD=BE+DE=CO+AC=7，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，7），
∴k=7；
②若點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，3），
則OD=AE-CO=AC-CO=3-4=-1＜0，不符合題意，舍去；
綜上，k=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了反比例函數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通．