Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-

1

2

x+15交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，OD=OC，過點(diǎn)C作x軸平行線，與直線OD交于點(diǎn)B，連接AB

（1）求直線OD的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段EF的長度為d（d≠0），求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接BF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求A的坐標(biāo)是（30，0），C的坐標(biāo)是（0，15），過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H．根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，以及勾股定理可求點(diǎn)D的坐標(biāo)是（12，9）．再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線OD的解析式；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得x=30-3t，再分兩種情況：當(dāng)0＜t＜6時(shí)；當(dāng)6＜t＜10時(shí)，討論可求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分①當(dāng)0＜t＜6時(shí)，當(dāng)EF=EB時(shí)，當(dāng)FE=FB時(shí)，當(dāng)BE=BF時(shí)；②6＜t＜10時(shí)，EF=EB．討論可得△BEF是等腰三角形時(shí)t的值．

解答：解：（1）如圖1，∵直線AC分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，C．
∴A的坐標(biāo)是（30，0），C的坐標(biāo)是（0，15），
∴OD=OC=15．
tan∠CAO=

OC

OA

=

1

2

，
過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H．
∴DH∥OA，tan∠CDH=tan∠CAO，
∴

CH

DH

=

1

2

，
設(shè)OH=a，則CH=15-a，DH=2（15-a）=30-2a．
在直角△ODH中，OH²+HD²=OD²，即a²+（30-2a）²=15²．
解得：a=9或15（舍去）．
∴OH=9，HD=30-2×9=12，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（12，9）．
設(shè)直線OD的解析式是y=kx，把（12，9）代入y=kx得：k=

3

4

．
∴函數(shù)的解析式是：y=

3

4

x；

（2）如圖1，∵PE∥y軸，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2t．
∴E的橫坐標(biāo)是2t，把x=2t代入y=

3

4

x中，y=

3

2

t．
∵EF∥x軸．
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是

3

2

t，把y=

3

2

t代入y=-

1

2

x+15，
解得：x=30-3t，
當(dāng)0＜t＜6時(shí)，d=30-3t-2t=30-5t，
當(dāng)6＜t＜10時(shí)，d=2t-（30-3t）=5t-30；

（3）∵C（0，5，1，CB∥x軸．
∴B的縱坐標(biāo)是15，
把y=15代入y=

3

4

x中，解得：x=20，
∴B的坐標(biāo)是（20，15）．
∴CB=20．
OB=

OC2+CB2

=

152+202

=25．
∴cos∠CBO=

CB

OB

=

4

5

．
∵CP=2t，
∴BP=20-2t．
∵cos∠PBE=cos∠CBO．∴

PB

EB

=

4

5

，

20-2t

EB

=

4

5

．
∴BE=

5

4

（20-2t）．
①當(dāng)0＜t＜6時(shí)，
當(dāng)EF=EB時(shí)，30-5t=

5

4

（20-2t），
解得：t=2；
當(dāng)FE=FB時(shí)，如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M．
∵FM⊥EB．
∴M是BE的中點(diǎn)．
∴EM=

1

2

BE=

1

2

×

5

4

（20-t）=

5

8

（20-2t）．
∵EF∥CB，
∴cos∠MEF=cos∠CBO．
∴

ME

EF

=

4

5

，

5 8 (20-2t)

30-5t

=

4

5

，
解得：t=

46

11

．
當(dāng)BE=BF時(shí)，這種情況不成立；
②6＜t＜10時(shí)，因?yàn)椤螰EB是鈍角，只能EF=EB．如圖3．
5t-30=

5

4

（20-2t）．
解得：t=

22

3

．
綜上所述：當(dāng)t=2或

46

11

或

22

3

時(shí)，△BEF是等腰三角形．

點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角函數(shù)，勾股定理，待定系數(shù)法，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．