Question

15．如圖，直角△ABC內(nèi)接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結(jié)PO交⊙O于點F．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，欲證明PC是⊙O的切線，只要證明PC⊥OC即可．
（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，連接OC，
∵PD⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ECP=∠AED，
又∵∠EAD=∠ACO，
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O切線．
（2）解法一：
延長PO交圓于G點，
∵PF×PG=PC²，PC=3，PF=1，
∴PG=9，
∴FG=9-1=8，
∴AB=FG=8．
解法二：
設(shè)⊙O的半徑為x，則OC=x，OP=1+x
∵PC=3，且OC⊥PC
∴3²+x²=（1+x）²
解得x=4
∴AB=2x=8

點評 本題考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．