Question

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D點(diǎn)，．以△ABC的中位線為直徑作半圓O，試確定BC與半圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答：BC與半圓O的位置關(guān)系為相切，
證明：過圓心O作OG⊥BC于G，
∵E，F(xiàn)是AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=BC，
設(shè)EF與AD交于點(diǎn)H，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，作FH∥BC，交AD于H，
∴FH是△ADC的中位線，
∴H為AD的中點(diǎn)，
∴DH=AD=BC，
∵OG⊥BC，HD⊥BC，EF∥BC，
∴OG=HD，
∴OG=BC=EF，
∵圓的半徑為EF，
∴BC與半圓O的位置關(guān)系為相切．
分析：BC與半圓O的位置關(guān)系為相切，欲證BC于圓O相切，只需過圓心O作OG⊥BC于G，再證明OG之長等于圓的半徑即可．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線和圓的切線的判定，如果已知條件沒有給出直線與圓有公共點(diǎn)，則可自圓心向這條直線引垂線，再證明垂線長等于圓的半徑即可．