Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，P是AB延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AC，PC，過點(diǎn)O作AC的垂線交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．若AC=PC，AB=8，∠P=30°．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）根據(jù)AC=PC，∠P=30°，得∠CAO=30°，連接OC，可求得∠PCO=90°，即PC⊥OC，從而可證明PC是⊙O的切線；
（2）由AB=8，得AO=

1

2

AB，再由∠CAO=30°，OE⊥AC，得OD和CD的長，從而得出S_陰影部分=S_扇形OCE-S_△OCD即可．

解答：（1）證明：∵AC=PC，∠P=30°，
∴∠CAO=30°，
連接OC．
∴∠COP=2∠CAO=60°，
∴∠PCO=180°-∠ACO-∠COP=90°，
即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=8，
∴AO=

1

2

AB=4，
又∵∠CAO=30°，OE⊥AC
∴OD=

1

2

OA=2，CD=AD=

3

2

OA=2

3

，
∴S_陰影部分=S_扇形OCE-S_△OCD=

60

360

π×42-

1

2

×2×2

3

=

8

3

π-2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定以及扇形面積的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，難度不大．